Question

已知双曲线的离心率e=2，F₁、F₂为两焦点，M为双曲线上一点，若∠F₁MF₂=60°，且．求双曲线的标准方程．

Answer

当焦点在x轴上时，设方程为：（a＞0，b＞0）根据其离心率为2，知a，b，c的关系式．再由∠F1MF2=60°，且△MF1F2的面积为12．即可求得a值．由此能导出双曲线的方程．
【解析】
如图，当焦点在x轴上时，设方程为：
∵
由∠F1MF2=60°
⇒|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|•|MF2|cos60°
⇒16a2=（|MF1|-|MF2|）2+|MF1|•|MF2|
⇒16a2=4a2+|MF1|•|MF2|
⇒|MF1|•|MF2|=12a2
且，
∴|MF1|•|MF2|sin60°=12，
∴×12a2×=12，⇒a=2，
∴b=a=2．
此时双曲线方程为．
当焦点在y轴上时，方程为：．