Question

如图2所示，空间几何体P-ABC中PA⊥平面ABC，AB⊥BC．PB、PC与平面ABC所成的角分别为60°和45°．AE⊥PB于E．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求AC与平面PBC所成的角；
（3）求AC与PB所成的角．

Answer

（1）先根据条件得到BC⊥平面PAB，进而可得结论；
（2）先结合第一问的结论得到AE⊥面PBC，进而得∠ACE为AC与平面PBC所成角；然后通过求三角形的边长即可求出∠ACE得到结论．
（3）过B作，连AN、PN，得∠PBN等于AC与PB所成角（或补角）；然后通过求三角形的边长即可求出结论．
【解析】
如图，（1）PA⊥平面ABC⇒BC⊥AE
（2）连EC．
∵BC⊥AE，AE⊥PB于E
∴AE⊥面PBC
∴∠ACE为AC与平面PBC所成角．
设AC=a，由条件，
∴即∠ACE=30°．
∴AC与平面PBC所成角为30°．
（3）过B作，连AN、PN，
则∠PBN等于AC与PB所成角（或补角）．
由已知，设AC=a，则BN=．
则．
∵AC、PB为异面直线
∴AC、PB所成角为．