Question

已知椭圆：中，F₁、F₂分科技别为左、右焦点，过F₂作椭圆的弦AB．
（1）求证：为定值；
（2）求△F₁AB面积的最大值．

Answer

（1）由题意a2=5，b2=1，可得F1（-2，0），F2（2，0）．若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）与椭圆方程联立，进而可表示，化简可知为定值．当AB⊥x轴时，也成立，从而得证．
（2）设AB倾斜角为θ，进而可得．根据0＜θ＜π，可得sinθ＞0，从而可求△F1AB面积的最大值．
（1）证明：∵a2=5，b2=1
∴F1（-2，0），F2（2，0）
若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）
由
设
∵
∴为定值．
当AB⊥x轴时，也成立．
∴=定值．
（2）【解析】
设AB倾斜角为θ

设F1到AB距离为d．则d=2•csinθ=4sinθ．
∴．
∴0＜θ＜π
∴sinθ＞0
∴．
当且仅当，即θ=30°或150°，△F1AB面积的最大值为．