Question

已知函数，．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若g（2x）-a•g（x）=0，有唯一实数解，求a的取值范围；
（3）若a=2，则是否存在实数m，n（m＜n＜0），使得函数y=f（x）的定义域和值域都为[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由奇函数的性质f（0）=0，代入可求a
（2）令t=2x＞0，则可转化为方程t2-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解，令h（t）=t2-at+1-a，则h（0）≤0，可求
（3）法一：由a=2可得，，证易f（x）在R上是增函数，假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有判断方程的解的存在情况即可
法二：易知f（x）在R上是增函数，假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根，而由得，令h（x）=2x+1，结合函数g（x）在（-∞，0]上为单调递增函数可得（x）＞g（x），即方程在（-∞，0）上无解
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）∴f（0）=0
∴a=1（2分）
（2）∵（1分）
∴（1分）
令t=2x＞0，则问题转化为方程t2-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解．（1分）
令h（t）=t2-at+1-a，则h（0）≤0
∴a≥1（2分）
（3）法一：不存在实数m、n满足题意．（1分）
∵y=2x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有（2分）
∵m＜0∴0＜2m＜1
∴
∴（1）式左边＞0，右边＜0，故（1）式无解．
同理（2）式无解．
故不存在实数m、n满足题意．（2分）
法二：不存在实数m、n满足题意．（1分）
易知∵y=2x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有
即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根．（1分）
由得
令h（x）=2x+1，（1分）
∵函数g（x）在（-∞，0]上为单调递增函数
∴当x＜0时，g（x）＜g（0）=1
而h（x）＞1，∴h（x）＞g（x）
∴方程在（-∞，0）上无解
故不存在实数m、n满足题意．（2分）