Question

点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上运动，则|PQ|+|PR|的取值范围为    ．

Answer

椭圆的两焦点恰为两圆（x+1）2+y2=1和（x-1）2+y2=1的圆心坐标．设椭圆左右焦点为F1，F2，由三角形两边之差小于第三边知：|PQ|最小为|PF1|-1，最大为|PF1|+1，同理：|PR|最小为|PF2|-1，最大为|PF2|+1，从而可求|PQ|+|PR|的取值范围．
【解析】
椭圆的两焦点为（-1，0），（1，0），恰为两圆（x+1）2+y2=1和（x-1）2+y2=1的圆心坐标．
设椭圆左右焦点为F1，F2，由三角形两边之差小于第三边知：|PQ|最小为|PF1|-1，最大为|PF1|+1
同理：|PR|最小为|PF2|-1，最大为|PF2|+1
∴|PQ|+|PR|的最小为|PF1|+|PF2|-2=2×2-2=2，最大为|PF1|+|PF2|+2=2×2+2=6
故|PQ|+|PR|的取值范围为[2，6]
故答案为：[2，6]