Question

等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₀=4，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₀），则函数f（x） 在点（0，0）处的切线方程为    ．

Answer

由数列{an}为等比数列，利用等比数列的性质得到a1a2010=a2a2009=…=a1005a1006，把已知的a1=1，a2010=4代入，求出a1a2010，a2a2009，…，a1005a1006的值，然后由函数解析式，利用求导法则求出f′（x），并把x=0代入导函数中，表示出f′（0），利用乘法运算律整理后，将求出的a1a2010，a2a2009，…，a1005a1006的值代入，利用同底数幂的运算法则化简后，得出f′（0）的值，即为函数在（0，0）处的斜率，进而确定出函数f（x） 在点（0，0）处的切线方程．
【解析】
∵等比数列{an}中，a1=1，a2010=4，
∴a1a2010=a2a2009=…=a1005a1006=4=22，
且f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a2010），
∴f′（0）=（-a1）•（-a2）•…•（-a2010）=a1•a2•…•a2010，
=（a1a2010）•（a2a2009）•…•（a1005a1006）
=22•22•…•22（1005个22相乘）=21005×2=22010，
∴函数f（x） 在点（0，0）处的切线方程y-0=22010（x-0），即y=22010x．
故答案为：y=22010x