Question

已知f（x）=x³-ax在（-1，0）上是减函数
（1）求a的取值范围
（2）当a=3时，定义数列{a_n}：a_n+1=-f（a_n）且-1＜a₁＜0，是比较a_n+1与a_n的大小．

Answer

（I）将f（x）=x3-ax在（-1，0）上是减函数问题转化为f′（x）=3x2-a≤0对x∈（-1，0）恒成立问题，进而参变分离求函数y=3x2 （-1＜x＜0）的值域即可得a的范围；
（II）先将递推关系式转化为an+1=-（an3-3an），2（an-an+1）=an3-an=an×（an+1）×（an-1），由-1＜a1＜0，递推-1＜a2＜a1＜0，从而猜想an+1＜an，再利用数学归纳法证明此猜想即可
【解析】
（I）∵（x）=x3-ax，∴f′（x）=3x2-a，
∵f（x）在（-1，0）上是减函数，∴3x2-a≤0对x∈（-1，0）恒成立，
即3x2≤a对x∈（-1，0）恒成立．而y=3x2 （-1＜x＜0）的值域为（0，3），
∴a≥3
（II）∵an+1=-f（an），∴an+1=-（an3-3an），
∴2（an-an+1）=an3-an=an×（an+1）×（an-1），
∵-1＜a1＜0，∴a1×（a1+1）×（a1-1）＞0，从而a1-a2＞0，∴a1＞a2
∵-2a2=a13-3a1，且-1＜a1＜0，y=x3-3x在（-1，0）上是减函数，∴-1＜a2＜0
又2（a2-a3）=a2×（a2+1）×（a2-1）＞0，∴a2＞a3
猜想an+1＜an，
1°当n=1时，有-1＜a1＜0
2°假设n=k时，-1＜ak＜0
则∵-2ak+1=ak3-3ak，且-1＜ak＜0，y=x3-3x在（-1，0）上是减函数，∴-1＜ak+1＜0
即n=k+1时，-1＜an＜0也成立
综上得，-1＜an＜0，（n∈N*）
又∵2（an-an+1）=an3-an=an×（an+1）×（an-1）＞0，
∴an+1＜an．