Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d为奇函数，且在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y-16=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）+m的图象与x轴仅有一个公共点，求m的范围．

Answer

（1）由题意可知f（x）为奇函数，利用奇函数的定义求得b，d．再利用导数的几何意义知在x=2处的导数等于切线的斜率，切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．
（2）将题中条件：“y=f（x）+m的图象与x轴仅有一个公共点”等价于“g（x）=x3-3x+m的其图象和x轴只有一个交点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）=x3-3x+m的其图象和x轴只有一个交点，得到关于m的不等关系，从而求实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，∴f（x）=ax3+cx∵f（x）过点（2，2），f'（x）=3ax2+c，
∴，
∴a=1，c=-3
∴f（x）=x3-3x（6分）
（2）设g（x）=f（x）+m，即g（x）=x3-3x+m，g'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）
当x变化时，g'（x）变化情况如下表：

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）
g'（x） + - +
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以g'（x）的极大值2+m，极小值-2+m
要y=f（x）+m与x轴只有一个交点，只需-2+m＞0或2+m＜0
故当m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，y=f（x）+m与x轴只有一个交点（13分）．