Question

设函数．
（Ⅰ）请在下列直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的图象，试分别写出关于x的方程f（x）=t有2，3，4个实数解时，相应的实数t的取值范围；
（Ⅲ）记函数g（x）的定义域为D，若存在x∈D，使g（x）=x成立，则称点（x，x）为函数g（x）图象上的不动点．试问，函数f（x）图象上是否存在不动点，若存在，求出不动点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（I）根据分段函数的定义域及指数函数图象的平移，二次函数与一次函数的性质可画出函数图象
（II）方程f（x）=t有2，3，4个实数解时，即函数y=f（x）的图象与y=t有2，3，4个交点，结合函数的图象可求
（III）若f（x）图象上存在不动点，则f（x）=x有解，则y=f（x）与y=x有交点，结合函数的图象可求
【解析】
（Ⅰ） 函数f（x）的图象如图．…（4分）
（Ⅱ）根据图象可知
当-2＜t＜1或t＞2时，方程f（x）=t有2个实数解；…（6分）
当t=1或t=2时，方程f（x）=t有3个实数解；…（7分）
当1＜t＜2时，方程f（x）=t有4个实数解．…（8分）
（Ⅲ）若f（x）图象上存在不动点，则f（x）=x有解，则y=f（x）与y=x有交点．…（9分）．
由图象可知：
若-1≤x≤2，则-x2+2=x，解得x=1（舍去x=-2），即不动点为（1，1）；
若x＞2，则3x-8=x，解得x=4，即不动点为（4，4）
综上，函数f（x）图象上存在不动点（1，1）、（4，4）．…（12分）