Question

在数列{a_n}中，其前n项和S_n与a_n满足关系式：（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t（t＞0，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），已知数列{b_n}，，求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1的值．

Answer

（Ⅰ） 当n=1时，（t-1）S1+（2t+1）a1=t，可求的首项a1=；当n≥2时，（t-1）Sn+（2t+1）an=t，（t-1）Sn-1+（2t+1）an-1=t，两式相减可得（t-1）an+（2t+1）an-（2t+1）an-1=0，从而有，故可知数列{an}是以为公比，为首项的等比数列；
（II）由（Ⅰ）可知，，，则bn+1=bn+2，从而可得数列{bn}是以2为公差，首项为1的等差数列，从而bn=2n-1由于涉及（-1）n+1，故分n为偶数及奇数分类求和．
证明：（Ⅰ） 当n=1时，（t-1）S1+（2t+1）a1=t，∴a1=
当n≥2时，（t-1）Sn+（2t+1）an=t，（t-1）Sn-1+（2t+1）an-1=t
∴（t-1）an+（2t+1）an-（2t+1）an-1=0
∴3tan=（2t+1）an-1，t＞0
∴
∴数列{an}是以为公比，为首项的等比数列；
【解析】
（II）由（Ⅰ）可知，，，则bn+1=bn+2
所以，数列{bn}是以2为公差，首项为1的等差数列
即bn=2n-1
①当n为奇数时，
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+（-1）n+1bnbn+1
=b1b2+b3（b4-b2）+b5（b6-b4）+…+bn（bn+1-bn-1）
=3+4（b3+b5+…+bn）
=2n2+2n-1
②当n为偶数时，
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+（-1）n+1bnbn+1
=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+bn（bn-1-bn+1）
=-4（b2+b4+…+bn）
=-（2n2+2n）
所以，原式=