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设f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b. ...

设f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b.
(1)求证:函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点;
(2)设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1,求|A1B1|的取值范围;
(3)求证:当x≤-manfen5.com 满分网时,恒有f(x)>g(x).
(1)由f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f(1)=0,可得a>0,c<0,联立方程y=f(x)=ax2+bx+c和y=g(x)=ax+b,并判断△的符号,即可判断出函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的个数; (2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由数轴上两点之间的距离及二次方程根与系数的关系,可以求出|A1B1|的取值范围; (3)不妨设x1>x2,则由(2)中<x1-x2<2,及-2<<-,结合a>b>c,可得-<x2≤0,又由a>0,结合二次函数的图象和性质可得,当x≤-时,f(x)-g(x)>0恒成立. 证明:(1)由 y=f(x)=ax2+bx+c,y=g(x)=ax+b得 ax2+(b-a)x+(c-b)=0  (*) △=(b-a)2-4a (c-b) ∵f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 ∴f(1)=a+b+c=0 …(3分) 又a>b>c ∴3a>a+b+c>3c即a>0,c<0 ∴b-a<0,c-b<0,a>0 ∴△=(b-a)2-4a(c-b)>0 故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点;…(5分) 【解析】 (2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 则x1、x2是方程(*)的两根 故x1+x2=-, x1x2=, 所以|A1B1|=|x1-x2|= == 又a+b+c=0,故b=-(a+c) 因而(b-a)2-4a(c-b)=(-2a-c)2-4a(a+2c)=c2-4ac 故|A1B1|== =…(8分) ∵a>b>c,a+b+c=0 ∴a>-(a+c)>c ∴-2<<- ∴|A1B1|的取值范围是(,2)…(10分). 证明:(3)不妨设x1>x2,则由(2)知: <x1-x2<2① 则x1+x2=-=1- 由a>b>c得:<<1, 故0<1-<1-…(12分) 又-2<<-, 故<1-<3, 因而0<1-≤ 即0<x1-x2≤② 由①、②得:-<x2≤0, 即方程(*),也就是方程f(x)-g(x)=0的较小根的范围是(-,0]. 又a>0,故当x≤-时, f(x)-g(x)>0恒成立, 即当x≤-时,恒有f(x)>g(x) …(14分).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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