Question

已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明之．

Answer

（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再利用奇函数定义，证明f（-x）=-f（x）即可；（2）先将函数化为复合函数形式，由于内层函数为减函数，故函数的单调性取决于外层函数的单调性，故需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论函数的单调性，最后利用函数单调性的定义证明讨论结果即可
【解析】
（1）∵，∴f（x）的定义域是{x|x＜-1或x＞1}
又f（-x）+f（x）=
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数…（5分）
（2）∵
∴当x＞1时，f（x）有意义
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增
证明如下：设任意的x1，x2∈（1，+∞）且x1＞x2
则
∴x1＞x2＞1∴x1+1＞x2+1＞2，x1-1＞x2-1＞0，x2-x1＜0
∴
∴
∴当a＞1时，
∴f（x1）＜f（x2）
当0＜a＜1时，
∴f（x1）＞f（x2）
故 当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增．