Question

已知函数f（x）=x²，对任意实数t，g_t（x）=-tx+1．
（1）求函数y=g₃（x）-f（x）的单调区间；
（2）在（0，2]上是单调递减的，求实数t的取值范围；
（3）若f（x）＜mg₂（x）对任意恒成立，求正数m的取值范围．

Answer

（1）利用配方法求函数y=g3（x）-f（x）的单调区间；
（2）由已知得，，利用单调性的定义，可知要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x1）-h（x2）＞0恒成立，从而只需1-tx1x2＞0恒成立，即恒成立，故可求实数t的取值范围；（3）解法一：由f（x）＜mg2（x），得x2＜m（-2x+1），分离参数可得，从而问题转化为，，利用配方法可求函数的最小值3，故可求正数m的取值范围；
解法二：由f（x）＜mg2（x），得x2+2mx-m＜0．构造f（x）=x2+2mx-m，则f（x）＜0对任意恒成立，只需，即，从而可求正数m的取值范围．
【解析】
（1）y=g3（x）-f（x）=…（1分）
所以函数y的单调递增区间是，单调递减区间是．…（3分）
（2）由已知得，，…（4分）
设0＜x1＜x2≤2，
则=…（6分）
要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x1）-h（x2）＞0恒成立．   …（7分）
因为x2-x1＞0，0＜x1x2＜4，
所以1-tx1x2＞0恒成立，即恒成立，…（8分）[
因为，所以，
所以实数t的取值范围是．…（9分）
（3）解法一：由f（x）＜mg2（x），得x2＜m（-2x+1），①…（10分）
因为m＞0且，所以①式可化为，②…（11分）
要使②式对任意恒成立，只需，（12分）
因为，所以当时，函数取得最小值3，…（12分）
所以，又m＞0，所以，
故正数m的取值范围是．…（13分）
解法二：由f（x）＜mg2（x），得x2+2mx-m＜0，…（10分）
令f（x）=x2+2mx-m，则f（x）＜0对任意恒成立，…（11分）
只需，即，解得，…（12分）
故正数m的取值范围是．                             …（13分）