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满分5
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高中数学试题
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如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AC,BC=AC=...
如图,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AA
1
⊥平面ABC,BC⊥AC,BC=AC=AA
1
=2,D为AC的中点.
(1)求证:AB
1
∥平面BDC
1
;
(2)求二面角B-C
1
D-C的正切值;
(3)设AB
1
的中点为G,问:在矩形BCC
1
B
1
内是否存在点H,使得GH⊥平面BDC
1
.若存在,求出点H的位置,若不存在,说明理由.
(1)欲证AB1∥平面BC1D,只需证明AB1平行平面BC1D中的一条直线,利用三角形的中位线平行与第三边,构造一个三角形AB1C,使AB1成为这个三角形中的边,而中位线MD恰好在平面BC1D上,就可得到结论. (2)先过C作CE⊥C1D且设CE∩C1D=E,可得∠CEB为二面角C-BC1-D的平面角.再把∠CEB放到三角形CEB中求出正切值即可; (3)建立空间直角坐标系,求出各点坐标以及各向量的坐标,根据GH⊥平面BC1D,可算得点H的位置. 【解析】 (1)连接B1C,设B1C∩BC1=M,连接MD, 在△AB1C中,M为B1C中点,D为 AC中点, ∴DM∥AB1, 又∵AB1不在面BDC1内,DM在面BDC1内, ∴AB1∥面BDC1.…(3分) (2)过C作CE⊥C1D且设CE∩C1D=E,连接BE, ∵BC⊥面ACC1A1,C1D在平面ACC1A1内, ∴BC⊥C1D.又CE⊥C1D, ∴C1D⊥面BEC,∴C1D⊥BE, ∴∠CEB为二面角B-C1D-C的平面角,设为θ.…(5分) 在RT△BEC中,BC=2,由CE×C1D=C1C×DC可得CE=, ∴tanθ==,即二面角B-C1D-C的正切值为.…(7分) (3)以C1为坐标原点,为X轴,为Y轴,为Z轴建立空间直角坐标系. 依题意,得:C1(0,0,0),D(1,2,0),B(0,2,2,),G(1,1,1,),假设存在H(0,m,n) =(-1,m-1,n-1),=(1,2,0),=(-1,0,2) 由GH⊥平面BC1D,得: ⊥⇒(-1,m-1,n-1)•(1,2,0)=0 ∴m= 同理,由得:n= 即:在矩形BCC1B1内是存在点H,使得GH⊥平面BDC1. 此时点H到B1C1的距离为,到C1C的距离为.…(13分)
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考点分析:
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试题属性
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难度:中等
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