Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是x轴上方椭圆E上的一点，且PF₁⊥F₁F₂，，．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程和P点的坐标；
（Ⅱ）判断以PF₂为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系．

Answer

（Ⅰ）由P在椭圆E上，知a=2．由PF1⊥F1F2，∴|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=-=4．由此能求出椭圆E的方程和P点的坐标．
（Ⅱ）线段PF2的中点M（0，），以M（0，）为圆心PF2为直径的圆M的方程为，以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x2+y2=4，由此可知两圆相内切．
【解析】
（Ⅰ）∵P在椭圆E上，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，…．（1分）
∵PF1⊥F1F2，∴|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=-=4，…．（2分）
2c=2，c=1，∴b2=3．
所以椭圆E的方程是：…．（4分）
∵F1（-1，0），F2（1，0），∵PF1⊥F1F2，
∴P（-1，）…．（5分）
（Ⅱ）线段PF2的中点M（0，），
∴以M（0，）为圆心PF2为直径的圆M的方程为，
圆M的半径r=…．（8分）
以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x2+y2=4，圆心为O（0，0），半径为R=2
圆M与圆O的圆心距为|OM|==2-=R-r，
所以两圆相内切  …（10分）．