(1)由函数在x=1处取得极值2可得f(x)=2,f′(1)=0求出a和b确定出f(x)即可;
(2)令f′(x)>0求出增区间得到m的不等式组求出解集即可;
(3)找出直线l的斜率k=f′(x),利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范围.
【解析】
(1)因,
而函数在x=1处取得极值2,
所以⇒⇒
所以;
(2)由(1)知,
如图,f(x)的单调增区间是[-1,1],
所以,⇒-1<m≤0,
所以当m∈(-1,0]时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增.
(3)由条件知,过f(x)的图形上一点P的切线l的斜率k为:=
令,则t∈(0,1],此时,
根据二次函数的图象性质知:
当时,kmin=,当t=1时,kmax=4
所以,直线l的斜率k的取值范围是.