Question

已知函数f（x）=x²+（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）x2为偶函数，欲判函数f（x）=x2+的奇偶性，只需判定的奇偶性，讨论a判定就可．
（2）处理函数的单调性问题通常采用定义法好用．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=x2
对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R），
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）．
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设2≤x1＜x2，
f（x1）-f（x2）==[x1x2（x1+x2）-a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，
必须f（x1）-f（x2）＜0恒成立．
∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．
又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x2）＞16，
∴a的取值范围是（-∞，16]．