Question

已知函f（x）=1-2a^x-a^2x（a＞1）
（1）求函f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]时，函f（x）的最小值-7，求a的值和函f（x）的最大值．

Answer

（1）先进行换元，还原以后写出新变量t的取值范围，则函数变化为关于t的二次函数，问题转化为二次函数的单调性和值域，根据二次函数的性质，得到结果．
（2）根据所给的x的范围，写出t的范围，根据二次函数的性质，写出函数在定义域上的最值，根据最小值的结果，做出a的值，进而得到函数的最大值．
【解析】
设ax=t＞0
∴y=-t2-2t+1=-（t+1）2+2
（1）∵t=-1∉（1，+∞）
∴y=-t2-2t+1在（0，+∞）上是减函数
∴y＜1所以值域为（-∞，1）

（2）∵x∈[-2，1]a＞1
∴t∈[，a]由t=-1∉[，a]
∴y=-t2-2t+1在[，a]上是减函数-a2-2a+1=-7
∴a=2或a=-4（不合题意舍去）
当t==时y有最大值，
即ymax=-（）2-2×+1=