Question

已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈Z）满足f（2）＜f（3）．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．
若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）对于幂函数f（x）=x（2-k）（1+k）满足f（2）＜f（3），代入结合k∈Z可求k的值
（2）由（1）可得函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x=-mx2+（2m-1）x+1，由m＞0，因此抛物线开口向上，对称轴x=＜1，若函数在区间[0，1]上的最大值为5，
则或解方程可求m
【解析】
（1）对于幂函数f（x）=x（2-k）（1+k）满足f（2）＜f（3），
因此（2-k）（1+k）＞0，
解得-1＜k＜2，
因为k∈Z，
所以k=0，或k=1，
当k=0时，f（x）=x2，
当k=1时，f（x）=x2，
综上所述，k的值为0或1，f（x）=x2．
（2）函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x
=-mx2+（2m-1）x+1，
因为要求m＞0，因此抛物线开口向下，
对称轴x=，
当m＞0时，=1-＜1，
因为在区间[0，1]上的最大值为5，
所以或
解得m=+满足题意．