Question

已知y=f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0，且当x≥0 时，f（x）=2x-x²．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）画出函数y=f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间及在每个区间上的增减性；
（3）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，试确定a的取值范围．

Answer

（1）根据当x≥0 时，f（x）=2x-x2．利用函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，可求x＜0时的解析式，从而可得y=f（x）的解析式；
（2）根据函数的解析式，分段作出函数的图象，从而可得f（x）的单调区间
（3）利用函数的单调增区间，结合函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，可建立不等式组，从而可确定a的取值范围．
【解析】
（1）当x＜0时，-x＞0，
∵当x≥0 时，f（x）=2x-x2．
∴f（-x）=-2x-x2，
又对于任意的x∈R，有f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-2x-x2
∴x＜0时，f（x）=2x+x2；----（2分）
∴f（x）的解析式为------（4分）
（2）f（x）的图象如右图：
f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数，f（x）在[-1，1]上是增函数---（8分）
（3）由图象可知，f（x）在[-1，1]上单调递增，
要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，只需
∴1＜a≤3----（12分）