设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+...

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y）， manfen5.com 满分网

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（1）求f（1）的值；
（2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；
（3）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

（1）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，即可求得f（1）的值；（2）根据题意，，令x=y=，f（xy）=f（x）+f（y）=2；有可求得m的值；（3）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．【解析】（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0 （2）∵， ∴ ∴m= （3）∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜，又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得：．

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考点分析：

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（2）画出函数y=f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间及在每个区间上的增减性；
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试题属性

题型：解答题
难度：中等