已知函数．（1）那么方程f（x）=0在区间[-2009，2009]上的根的个数是...

已知函数

．（1）那么方程f（x）=0在区间[-2009，2009]上的根的个数是；（2）对于下列命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）既有最大值又有最小值；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；④对于任意x∈（-1，0），函数f（x）的导函数f'（x）＜0．其中真命题的序号是．（填写出所有真命题的序号）

观察函数的解析式它不是一个奇函数，由于分子的值从-1到1周期性变化，分母的值随着x的值远离原点，逐渐趋向于正无穷大，函数图象逐渐靠近x轴，由这些性质对四个命题进行判断选出正确选项【解析】（1）由于分母恒正，所以方程f（x）=0等价于sinπx=0，由于周期为T=2，故在区间[-2009，2009]上的根的个数是4019个；（2）①函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于X轴，故不是周期函数；②函数f（x）既有最大值又有最小值，由①的判断知，函数存在最大值与最小值，此命题正确；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴，由函数解析式可以得出，其图象周期性穿过X轴，由于分母不断增大，图象往两边延伸都无限靠近于X轴，其对称轴是x=，此命题正确；④对于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数），此命题不正确，由于自变量从-1变化到0分母变小，而分子由0减小到-1，再由-1增大到0，所以函数值的变化是选减小再增大，故导数恒小于0不成立．此命题不正确．综上，②③正确故答案为4019；②③

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考点分析：

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设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；
③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命题是（写出所有真命题的编号）查看答案

对于函数f（x）=