Question

已知函数f（x）=3ax²+2bx+c，a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0
（I）求证：；
（II）若x₁、x₂ 是方程f（x）=0的两个实根，求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer

（Ⅰ） 当a=0时，f（0）=c，f（1）=2b+c，又b+c=0，则f（0）•f（1）=c（2b+c）=-c2＜0，与已知矛盾，因而a≠0，则f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-（b+c）（2a+b）＞0，从而建立关于的不等关系，从而求出的范围即得；
（II）根据根与系数的关系即可求得x1+x2，x1•x2则可得d2=|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1•x2，得到关于的二次函数，又由（I）得-2＜＜-1，根据其增减性即可求得答案．
证明：（Ⅰ） 当a=0时，f（0）=c，f（1）=2b+c，又b+c=0，
则f（0）•f（1）=c（2b+c）=-c2＜0，与已知矛盾，
因而a≠0，则f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-（b+c）（2a+b）＞0
即（+1）（+2）＜0，从而-2＜＜-1；
（II） x1、x2是方程f（x）=0的两个实根，
∴x1+x2=-，x1•x2=-，
那么|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1•x2=（-）2+4×=（）2+×+，
此关于的二次函数的对称轴为：=-3，
∴当-2＜＜-1时，是减函数，
∴|x1-x2|2∈[，]
|x1-x2|的取值范围的取值范围[，）．