Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（I）若对∀x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（II）证明：x∈（0，+∞）时．

Answer

（I）分离出参数a，构造函数h（x）=，通过导数求出h（x）的单调性，进一步求出函数的最小值，得到a的范围；
（II）将要证的不等式等价转化为xlnx，求不等式左边的函数的最小值，和不等式右边函数的最大值，得到左边的最小值等于右边的最大值，不等式得证．
【解析】
（Ⅰ）由2f（x）≥g（x）得2xlnx≥-x2+ax-3，由于x＞0
则a，设h（x）=，

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增，
因而h（1）最小为4，那么a≤4；
（II）要证明，，即证xlnx，
∵f′（x）=lnx+1=0时x=，f（x）的最小值为f（=，
设φ（x）=，
φ′（x）=时x=1，φ（x）的最大值为φ（1）=
f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，即xlnx，
因而．