Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BD与CA延长线交于E点，EF⊥BA延长线于F，若∠AED=30°
（I）求∠AFD的大小；
（II）求证：AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer

（I）先根据AB为直径，则∠ADB=90°；再结合EF⊥BA得到∠EFA=∠ADB=90°；可以得A、D、E、F四点共圆进而求出∠AFD的大小；
（II）先根据A、D、E、F四点共圆得BE•BD=BF•BA；再结合RT△AEF∽RT△ABC得AE•AC=BA•AF；最后代入所证等式得右边，整理即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）连接AD，由于AB为直径，则∠ADB=90°，
又EF⊥BA，
∴∠EFA=∠ADB=90°；
则A、D、E、F四点共圆，
则∠AFD=∠AED=30°
证明：（Ⅱ） 由A、D、E、F四点共圆，
得BE•BD=BF•BA
连接BC，
由对顶角相等，则RT△AEF∽RT△ABC，
则AE•AC=BA•AF
从而BE•BD-AE•AC=BF•BA-BA•AF=AB（BF-AF）=AB2．
即AB2=BE•BD-AE•AC成立