Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a-1
（1）当a=1，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先写出当a=1时的不等式|2x+1|≥|x|，再利用两边平方整理化成一元二次不等式即可解决问题；
（2）先由f（x）≤g（x）分离出参数a得a-1≥|2x+1|-|x|，令h（x）=|2x+1|-|x|，下面求得h（x）的最小值，从而所求实数a的范围．
【解析】
（1）当a=1时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，
两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤-1或x≥-，
∴原不等式的解集为（-∞，-1]∪[-，+∞）…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a-1≥|2x+1|-|x|，
令h（x）=|2x+1|-|x|，则 h（x）=…（7分）
故h（x）min=h（-）=-，从而所求实数a的范围为a-1≥-，即a…（10分）