Question

类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明．

Answer

由勾股定理是平面二维的线与线之间的关系，类比到三维空间可猜测：S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2，作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD，S△BCD2 =•BE2
=（AB2+AE2）=（AC2+AD2）（AB2+AE2），再化简即得结论．
【解析】
线的关系类比到面的关系，猜测：S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2．
理由如下：
如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．
S△BCD2 =•BE2 =（AB2+AE2）
=（AC2+AD2）（AB2+AE2）
=（AC2AB2 +AD2AB2 +AC2AE2+AD2AE2 ）
=（AC2AB2 +AD2AB2+CD2AE2 ）
=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2