(1)把已知直线l的方程变形为m(2x+y-7)+x+y-4=0,可得直线l必过直线2x+y-7=0与直线x+y+4=0的交点,故联立两直线的方程组成方程组,求出方程组的解,得到交点坐标为(3,1),故不论m取什么实数,直线l恒过定点(A3,1),得证;
(2)由A到圆心的距离d小于圆的半径,判断得到点A在圆内,则直线经过园内的点,从而可判断直线与圆相交
(3)此时直线x+y-4=0,先求出圆心到该直线的距离d,然后根据公式可求弦的长度l
【解析】
(1)∵直线方程l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,
可以改写为m(2x+y-7)+x+y-4=0
∴直线必经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点,
由方程组,
解得,即两直线的交点为A(3,1)
则不论m取什么实数,直线l恒过定点(3,1)
(2)∵圆C:(x-1)2+(y-2)2=16,
∴圆心C(1,2),半径r=4,
∵点A(3,1)与圆心C(1,2)的距离,
∴A点在C内,直线与圆相交
(3)当m=0时,直线方程为x+y-4=0
圆心(1,2)到直线x+y-4=0的距离d==,半径r=4
∴==
∴