Question

已知曲线f（x）=x³-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R
（Ⅰ）当时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围
（Ⅱ）若对任意的实数m，直线与曲线都不相切，
（ⅰ）试求a的取值范围；
（ⅱ）当x∈[-1，1]时，曲线f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于．试证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）【解析】
当时，f（x）=x3-4x，由曲线f（x）与直线有三个交点，可得x3-3x=m有三个不同的根，构造函数
g（x）=x3-3x，先求导可得g'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），通过研究函数g（x）的单调性求解函数的极值，结合极值可求满足条件的m的范围
（II）（i）首先分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线的含义，即可求出函数f（x）=x3-3ax（a∈R）的导函数，使直线与其不相交即可．
（ii ）（法一）：问题等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|max≥，设g（x）=|f（x）|，则由g（x）在x∈[-1，1]上是偶函数，可知只要证明当x∈[0，1]时，|f（x）|max≥，利用导数判断函数的单调性，结合单调性求解相应的最大值即可
（法二）可考虑利用反证法证明假设在x∈[-1，1]上不存在x，使得|f（x）|成立．下同法一的证明思路
【解析】
（Ⅰ）当时，f（x）=x3-4x
∵曲线f（x）与直线有三个交点
∴x3-4x=-x+m有三个不同的根
∴x3-3x=m有三个不同的根，
令g（x）=x3-3x，g'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）
∴g（x）在（-1，1）上递减，（1，+∞），（-∞，-1）上递增g（-1）极大值=2，g（1）极小值=-2
∴当-2＜m＜2时，曲线f（x）与直线有三个交点
（Ⅱ）（i）f（x）=3x2-3a∈[-3a，+∞]，
∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不与y=（x）相切，
∴-1不属于[-3a，+∞]，-1＜-3a，实数a的取值范围是a＜；
（ii）存在，证明方法1：问题等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|max≥，
设g（x）=|f（x）|，则g（x）在x∈[-1，1]上是偶函数，
故只要证明当x∈[0，1]时，|f（x）|max≥，
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g（x）max=f（1）=1-3a＞1＞；
②当0＜a＜时f′（x）=3x2-3a=3（x+）（x-），
列表：

x （-∞，-） - （-，） （，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ 极大值2a ↓ 极小值
-2a ↑

f（x）在（0，）上递减，在（，1）上递增，
注意到，且＜＜1，
∴x∈（0，）时，g（x）=-f（x），x∈（，1）时，g（x）=f（x），
∴g（x）max=max{f（1），-f（）}，
由及，解得，此时成立．
∴．
由及，解得，此时成立．
∴．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x，使得|f（x）|成立．
（II）存在，证明方法2：反证法
假设在x∈[-1，1]上不存在x，使得使得|f（x）|成立．
，即任意，x∈[-1，1]，设g（x）=|f（x）|
，则g（x）在x∈[-1，1]，上是偶函数，
∴x∈[0，1]时，
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
，与a≤0矛盾；
②当，，可知f（x）在上递减，在上递增，
注意到，且
∴时，g（x）=-f（x），时，g（x）=f（x），
∴
注意到，由：
，矛盾；，矛盾；
∴x∈[-1，1]，与矛盾，
∴假设不成立，原命题成立．