已知函数，；（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；（Ⅱ）证明f（x）在（-∞，-1）上...

已知函数

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（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；
（Ⅱ）证明f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
（Ⅲ）分别计算f（4）-5f（2）•g（2）和f（9）-5f（3）•g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．

（I）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（x）与f（-x）的关系，结合函数奇偶性的定义，即可得到答案．（II）任取x1＜x2＜-1，作差判断f（x1）与f（x2）的大小，根据函数单调性的定义易得到结论；（III）将4与2，9与3分别代入函数，及得到结论，归纳后可得结论，由函数的解析式，不难对结论进行证明．【解析】（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），是关于原点对称的；又 ∴f（x）是奇函数．（4分）（Ⅱ）设x1＜x2＜-1，则：， ∵，，， ∴f（x1）-f（x2）＜0．即f（x1）＜f（x2）且x1＜x2 ∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增．（8分）（Ⅲ）算得：f（4）-5f（2）•g（2）=0；f（9）-5f（3）•g（3）=0；由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是：f（x2）-5f（x）•g（x）=0（12分）下面给予证明：∵f（x2）-5f（x）•g（x）= =-=0 ∴f（x2）-5f（x）•g（x）=0对所有不等于零的实数x都成立．（14分）

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考点分析：

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已知定义在R⁺上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＜0；③f（2）=-1
（1）求f（8）的值；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）解不等式：f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3．

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如图，在等腰梯形OABC中，A（2，2），B（5，2）．直线x=t（t＞0）由点O向点C移动，至点C完毕，记扫描梯形时所得直线x=t左侧的图形面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并画出y=f（t）的图象．