(1)根据双曲线的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,建立方程,即可求得双曲线C的方程;
(2)假设直线方程,与双曲线方程联立,分类讨论,利用坐标表示向量的数量积,从而可确定t=的取值范围.
【解析】
(1)双曲线的右焦点为(c,0),一条渐近线方程为:bx-ay=0
∵双曲线的离心率为2,焦点到渐近线的距离为
∴
∵c2=a2+b2
∴b2=12,a2=4
∴双曲线C的方程为…(4分)
(2)点P的坐标为(0,-2),设过P的直线l的方程为y=kx-2,与双曲线方程联立可得
消去y可得(3-k2)x2+4kx-16=0…(5分)
(1)3-k2=0,不符合题意,舍去…(6分)
(2)3-k2≠0时,△=16(12-3k2)>0得k2<4
设M(x1,y1),N(x2,y2),则,…(8分)
∴y1y2=(kx1-2)(kx2-2)=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=
∴t==x1x2+y1y2==
∵k2<4,3-k2≠0
∴3-k2>-1,3-k2≠0
∴或
∴或
∴t>52或…(12分)