设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于直线x+y=1对称的两点,C(x,y)为AB的中点.设AB的直线方程为y=kx+b.由直线AB与x+y=1垂直,得k=1,由,得到 x2+(2b-2p)x+b2=0,由此能求出实数p的取值范围.
【解析】
设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于直线x+y=1对称的两点,
C(x,y)为AB的中点.设AB的直线方程为y=kx+b.
由直线AB与x+y=1垂直,得k=1…(3分)
由,
得到 x2+(2b-2p)x+b2=0…(5分)
△=4p(p-2b)>0,得p>2b,….①
…(8分)
C(p-b,y)代入y=x+b中,得到C(p-b,p)
同时C又在x+y=1上得b=2p-1…②…(10分)
由①②可得p<,
∵p>0,∴0<p<,
实数p的取值范围是.…(12分)