Question

设M是圆x²+y²-6x-8y=0上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若|OM|•|ON|=150，求点N的轨迹方程．

Answer

先设M、N的坐标分别为（x1，y1），（x，y），欲求出动点N的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合|OM|•|ON|=150关系式，用坐标来表示距离，利用直线的斜率与坐标的关系即可求得点N的轨迹方程．
【解析】
设M、N的坐标分别为（x1，y1），（x，y），
由题设|OM|•|ON|=150，得 ，
当x1≠0，x≠0时，∵N是射线OM上的点，
∴有 ，设 =k，
有y=kx，y1=kx1，则原方程为x12+k2x12-6x1-8kx1=0，
由于x≠0，所以（1+k2）x1=6+8k，
又|x1x|（1+k2）=150，因为x与x1同号，
所以x1=，代入上式得 =6+8k，
因为k=，所以 =6+8 ，
化简可得：3x+4y-75=0为所求．