Question

自选题：不等式选讲：已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（I）求证：2＜x₁+x₂＜6，|x₁-x₂|＜2；
（II）若f（x）=x²-x+1，求证：|x₁-x₂|＜|f（x₁）-f（x₂）|＜5|x₁-x₂|．

Answer

（I）对已知|x1-2|＜1，|x2-2|＜1．进行去掉绝对值后再利用不等式的性质即可得到x1+x2的范围，由于|x1-x2|≤|x1-2|+|x2-2|再对右边利用题中条件即可证得．
（II）利用）|f（x1）-f（x2）|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|，对最后一个式子利用（I）中的结论进行放缩即可证明得．
证明：（I）∵|x1-2|＜1，∴-1＜x1-2＜1，即1＜x1＜3，（2分）
同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6，（4分）
∵|x1-x2|=|（x1-2）-（x2-2）|≤|x1-2|+|x2-2|，
∴|x1-x2|＜2；（5分）
（II）|f（x1）-f（x2）|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|，（8分）
∵2＜x1+x2＜6，∴1＜x1+x2-1＜5，
∴|x1-x2|＜|f（x1）-f（x2）|＜5|x1-x2|（10分）