Question

已知f（x）=e^x-kx
①若k=e³求 f（x）的单调区间．
②若对任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，求k的取值范围？
③若f（x）=0有两相异实根，求k的取值范围？

Answer

①由f（x）=ex-e3x，知f'（x）=ex-e3，令f'（x）＞0，得x＞3．由此能求出f（x）的单调区间．
②对任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，即对任意的x≥0有f（x）＞0恒成立，即x≥0时，f（x）min＞0，又f′（x）=ex-k．当k≤1时，x≥0有f'（x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，则fmin（x）=f（0）=1＞0满足题意．由此能够求出k的取值范围．
③若f（x）=0有两相异实根，又f′（x）=0至多只有一解，所以有y=f（x）的极小值存在且小于0，即k＞0，且f（x）min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0，由此能求出k的取值范围．
【解析】
①∵f（x）=ex-e3x，
∴f'（x）=ex-e3
令f'（x）＞0则ex-e3＞0，
得x＞3，
∴f（x）的单调増区间为[3，+∞），f（x）的单调减区间为（-∞，3]．
②对任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，
即对任意的x≥0有f（x）＞0恒成立，
即x≥0时，f（x）min＞0，又f′（x）=ex-k．
当k≤1时，x≥0有f'（x）≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
则fmin（x）=f（0）=1＞0满足题意．
当k＞1时，令f′（x）=ex-k=0，即ex=k，
∴．∴
∴k-lnk＞0，即k＜e．
③若f（x）=0有两相异实根，又f′（x）=0至多只有一解，
∴有y=f（x）的极小值存在且小于0，
即k＞0，且f（x）min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0，
∵k＞0，
∴1-lnk＜0，即lnk＞1，
∴．