Question

已知定直线l：x=1和定点M（t，0）（t∈R），动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍．
（1）求动点P的轨迹方程，并讨论它表示什么曲线；
（2）当t=4时，设点P的轨迹为曲线C，过点M作倾斜角为θ（θ＞0）的直线交曲线C于A、B两点，直线l与x轴交于点N．若点N恰好落在以线段AB为直径的圆上，求θ的值．

Answer

（1）设P（x，y），则由题意得=2|x-1|，化简得3x2-y2+2（t-4）x+4-t2=0，由此能够确定动点P的轨迹方程和它表示的曲线．
（2）当t=4时，C：，M（4，0），N（1，0）．由题意知 NA⊥NB，所以，设A（x1，y1），B（x2，y2），则当AB与x轴垂直时，不合题意；当AB与x轴不垂直时，设AB：y=k（x-4），代入双曲线方程并整理得：（3-k2）x2+8k2x-16k2-12=0，由此能够求出θ的值．
【解析】
（1）设P（x，y），则由题意得=2|x-1|，
化简得3x2-y2+2（t-4）x+4-t2=0，
，…（4分）
当t=1时，化简得 y=±（x-1），表示两条直线；
当t≠1时，表示焦点在x轴上的双曲线．…（6分）；
（2）当t=4时，C：，M（4，0），N（1，0）．
由题意知 NA⊥NB，
所以，…（8分）；
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则当AB与x轴垂直时，，不合题意；
当AB与x轴不垂直时，设AB：y=k（x-4），代入双曲线方程并整理得：
（3-k2）x2+8k2x-16k2-12=0，
由得（x1-1）（x2-2）+y1y2=0
所以  （k2+1）x1x2-（4k2+1）（x1+x2）+16k2+1=0，
化简整理得k2=，
所以k=±，…（11分）
经检验，均符合题意．
所以θ=30°或150°．…（12分）