Question

定义F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）．
（1）设函数f（n）=（n∈N*），求函数f（n）的最小值；
（2）设g（x）=F（x，2），正项数列{a_n}满足；a₁=3，g（a_n+1）=，求数列{a_n}的通项公式，并求所有可能乘积a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer

（1）由题意可得f（n）==，要求f（n）的最小值，只要判断f（n）的单调性，利用比较法中的比商：=，只要判断2n2与（n+1）2的大小即可判断
（2）先由 条件可求g（x）=F（x，2）=2x，代入可得g（an+1）=，结合g（an+1）==，可得an+1与an的递推关系，进而可求通项，设所求的和为S，则S=a1•a1+（a1+a2）•a2+…+（a1+a2+…+an）•an利用分组求和的可求
【解析】
（1）∵F（x，y）=yx（x＞0，y＞0）．
∴f（n）==，
∴==，
由于2n2-（n+1）2=（n-1）2-2，
当n≥3时，f（n+1）＞f（n）； 当n＜3时，f（n+1）＜f（n），
所以当n=3时，f（n）min=f（3）=；…（6分）
（2）∵g（x）=F（x，2）=2x，
∴g（an+1）=，
又∵g（an+1）==，
所以an+1=3an，而a1=3，所以an=3n；…（9分）
设所求的和为S，
则S=a1•a1+（a1+a2）•a2+…+（a1+a2+…+an）•an…（11分）
=3•31+（3+32）•32+…+（3+32+…+3n）•3n…（12分）
=•31+•32+…+•3n
=
=
=…（14分）．