Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（Ⅰ）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）设直线C₁N与平面CNB₁所成的角为θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用三视图说明几何体的形状，以BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关的点的坐标，通过，证明BN⊥平面C1B1N；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的坐标系以及相关数据，设直线C1N与平面CNB1所成的角为θ，求出向量与，通过数量积，
求cosθ的值；
（Ⅲ）M为AB中点，设存在一点P，使得MP∥平面CNB1，利用，求出a的值即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB1两两垂直．
以BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…1分
则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）
∵=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0
=（4，4，0）•（0，0，4）=0…3分
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，
∴BN⊥平面C1B1N；…4分
（Ⅱ）∵BN⊥平面C1B1N，是平面C1B1N的一个法向量=（4，4，0），…5分
设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，
则⇒⇒，
取=（=（1，1，2），…7分
则cosθ═=；…9分
（Ⅲ）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB1，
∴⊥，
=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0
∴a=1…12分
又MP⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，
∴当BP=1时MP∥平面CNB1…13分