Question

已知函数f（x）=x³-ax²．
（1）若a=3，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）在（1）的条件下，当k满足什么条件时，方程f（x）+k=0只有两个解；
（3）若函数f（x）的图象的切线过点（0，1），且过该点的切线有两点，求实数a的值．

Answer

（1）把a=3代入函数f（x）=x3-ax2，求导，解出极值点，列出表格即可求解；
（2）由（1）的表格，画出草图即可求解；
（3）首先设出切点，根据函数f（x）的图象的切线过点（0，1），且过该点的切线有两条，根据斜率和导数的关系列出方程，可知方程只有两个根，根据数形结合的方法可以求出a值．
【解析】
（1）由于a=3，则f（x）=x3-3x2，所以f'（x）=3x2-6x=0，得x1=0，x2=2

x （-∞，0） （0，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↗ ↘ -4 ↗

∴f极大值（x）=f（0）=0f极小值（x）=f（2）=-4
（2）由（1）得k=0或k=4时只有两解；
（3）∵函数f（x）的图象的切线过点（0，1），且过该点的切线有两条，
∴设切点为（x，x3-ax2），又切线过点（0，1），f′（x）=3x2-2ax，
∴，
化简得2x3-ax2+1=0…①，∵有两条切线，
∴方程①只能有两个根，
∵2x3-ax2=-1，令h（x）=2x3-ax2，y=-1，则h′（x）=6x2-2ax，令h′（x）=0，解得，x1=0，x2=，
画出h（x）的图象：利用数形结合可得，要是方程①只有两个根，∴h（）=-1，
∴2×3-a×=-1，解得a=3．