Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB=BC，BD⊥AC，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求证：PA∥平面BDE．

Answer

（Ⅰ）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AC，又BD⊥AC，可证得AC⊥平面PBD，从而可得AC⊥PB．
（Ⅱ）E为PC的中点，设AC∩BD=F，连接EF，可得PA∥EF，由线面平行的判定定理可得结论．
证明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又BD⊥AC，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，
∴AC⊥PB．
（Ⅱ）设AC∩BD=F，连接EF，
在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC，
∴F为AC的中点，
∵E为PC的中点，
∴EF∥PA，而EF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE．