Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AB的中点，AB=2，A₁A=，如图．
求证：（1）CD⊥AB₁；
      （2）AB₁⊥BC₁．

Answer

（1）要证CD⊥AB1，通过证明CD⊥平面A1ABB1，后者由A1A⊥CD，CD⊥AB得出．
（2）取A1B1中点D1，连接C1D1，BD1，由AB1⊥平面BC1D1证得AB1⊥BC1．应由AB1⊥BD1，C1D1⊥AB1证得．
证明：（1）∵△ABC为正三角形，
∴CA=CB，D为AB中点，
∴CD⊥AB，…（2分）
又∵三棱柱ABC-A1B1C1正三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC
∴A1A⊥CD，又A1A∩AB=A，
∴CD⊥平面A1ABB1，…（5分）
∴CD⊥AB1            …（6分）
（2）取A1B1中点D1，连接C1D1，BD1，…（7分）
同法可证C1D1⊥平面A1ABB1 从而C1D1⊥AB1，…（8分）
在矩形A1ABB1 中，AB=2，A1A=，D1为A1B1中点，
∴A1D1=D1B1=1，
由及∠ABB1=∠BB1D1=90，
可得△ABB1∽△BB1D1，
∴∠B1AB=∠B1BD1，
而∠B1BD1+∠ABD1=90，
∴∠B1AB+∠ABD1=90，
∴AB1⊥BD1，…（12分）
BD1∩C 1D1=D1，
∴AB1⊥平面BC1D1，
∴AB1⊥BC1． …（14分）