Question

已知函数f（x）=ax²+x-3，g（x）=-x+4lnx，h（x）=f（x）-g（x）
（1）当a=1时，求函数h（x）的极值；
（2）若函数h（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；
（3）定义：对于函数F（x）和G（x），若存在直线ℓ：y=kx+b，使得对于函数F（x）和G（x）各自定义域内的任意x，都有F（x）≥kx+b且G（x）≤kx+b成立，则称直线ℓ：y=kx+b为函数F（x）和G（x）的“隔离直线”．则当a=1时，函数f（x）和g（x）是否存在“隔离直线”．若存在，求出所有的“隔离直线”；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）确定函数的定义域，再求导函数，确定函数的单调性，从而可以求函数h（x）的极值；
（2）函数h（x）有两个极值点，等价于导函数为0的方程有两个不相等的正数解，利用韦达定理可解；
（3）利用新定义，先确定“隔离直线”，再进行证明即可．
【解析】
（1）a=1时，f（x）=x2+x-3，h（x）=x2+2x-3-4lnx，h（x）的定义域是（0，+∞），
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增
∴x=1时，h（x）取得极小值h（1）=0，h（x）无极大值．…（4分）
（2）h（x）=ax2+2x-4lnx-3，x∈（0，+∞），
依题意，方程2ax2+2x-4=0在（0，+∞）上有两个不相等的正数解．
∴，∴
∴a的取值范围是（-，0）…（9分）
（3）设存在，a=1时，f（x）=x2+x-3
由（1）知，当且仅当x=1时，h（x）=0，此时，f（1）=g（1）=-1
∴y=f（x）与y=g（x）的图象有唯一的交点A（1，-1）
直线ℓ必过点A，设ℓ的方程：y+1=k（x-1），即y=kx-k-1
由f（x）≥kx-k-1恒成立得x2+（1-k）x+k-2≥0恒成立
∴△=（1-k）2-4（k-2）=（k-3）2≤0
∴k=3，直线ℓ的方程：y=3x-4…（12分）
以下证明g（x）≤3x-4对x＞0恒成立
令
当x∈（0，1）时，ϕ′（x）＜0，ϕ（x）递减，当x∈（1，+∞）时，ϕ′（x）＞0，ϕ（x）递增，
∴ϕ（x）的最小值为ϕ（1）=0，∴ϕ（x）≥0恒成立
即g（x）≤3x-4对x＞0恒成立
综上，f（x）和g（x）存在唯一的“隔离直线”：y=3x-4…（14分）