Question

已知圆C₁：x²+y²+2x+2y-8=0与圆C₂：x²+y²-2x+10y-24=0相交于两点，
（1）求公共弦AB所在的直线方程；
（2）求圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程；
（3）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程．

Answer

（1）写出过两个圆的方程圆系方程，令λ=-1即可求出公共弦所在直线方程．
（2）欲求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程，即求出以线段AB的中点为圆心的圆的方程即可．
（3）经过A，B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆，与（2）的圆是相同的，进而确定出所求圆的方程．
【解析】
（1）经过圆C1：x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2：x2+y2-2x+10y-24=0的公共点的圆系方程为：
x2+y2+2x+2y-8+λ（x2+y2-2x+10y-24）=0
令λ=-1，可得公共弦所在直线方程：x-2y+4=0；
（2）由，
解得或，
∴A，B两点的（-4，0），（0，2），
其中点的坐标为（-2，1），|AB|=，
故所求圆心为（-2，1），半径为，
圆的方程为：（x+2）2+（y-1）2=5；
即x2+y2+4x-2y=0．
（3）经过A，B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆，
与（2）的圆是相同的．
则所求圆的方程为：x2+y2+4x-2y=0．