Question

如图所示，多面体ABC-A₁B₁C₁是由直棱柱被平面A₁B₁C₁而成．其中AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，AB与BC垂直，AB=BC=1
（1）在A₁B₁上是否存在一点D₁，使得C₁D₁平行于平面ABC．
（2）求二面角B₁-A₁C₁-A的大小．
（3）求该多面体的体积．

Answer

（1）A1B1上存在一点D1，满足D1为A1B1的中点，使得C1D1平行于平面ABC．根据线面平行的判定可以证明．
（2）过B1点作AA1，CC1的垂线，垂足为E，F，连接EF，取EF的中点O，则△OC1A1为△C1A1，B1的射影，分别求出面积，利用公式可求；
（3）多面体的体积为，分别计算，即可求得．
【解析】
（1）A1B1上存在一点D1，满足D1为A1B1的中点，使得C1D1平行于平面ABC．
D1为A1B1的中点，取AB 的中点D，连接DD1，C1D1，
∵多面体ABC-A1B1C1是由直棱柱被平面A1B1C1而成
∴AA1∥BB1∥CC1，
∵AA1=4，BB1=2，D1为A1B1的中点，取AB 的中点D，
∴DD1∥CC1，且DD1=CC1=3
∴四边形CDD1C1为平行四边形
∴D1C1∥DC
∵D1C1⊄平面ABC，DC⊂平面ABC
∴C1D1∥平面ABC．
（2）过B1点作AA1，CC1的垂线，垂足为E，F，连接EF，取EF的中点O，则B1O⊥平面C1A1B1，
∵AB与BC垂直，AB=BC=1
∴EB1=FB1=1，EF=
∵OB1=，
∵AA1=4，BB1=2，CC1=3
∴C1F=1
∴A1B1=，B1C1=，A1C1=
∴△A1B1C1为直角三角形，
∴B1C1⊥A1C1，
∵B1O⊥平面C1A1B1，
∴OC1⊥平面C1A1B1，
∴∠OC1B1为二面角B1-A1C1-A的平面角
∵sin∠OC1B1===
∴∠OC1B1=30°
∴二面角B1-A1C1-A的大小为30°
（3）四边形EFC1A1的面积为=，B1O=
多面体的体积为=+=