Question

已知抛物线C的一个焦点为，其准线方程为
（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程．

Answer

（1）根据抛物线C的一个焦点为，其准线方程为，可得抛物线C的方程为y2=2x；
（2）①当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-），代入y2=2x，得k2x2-x（k2+2）+=0．设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），根据韦达定理，及三角形的重心坐标公式，即可求出△AOB重心G的轨迹方程；②当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（，1）和（，-1），△AOB的重心G（，0），也适合y2=x-，故可得轨迹C的方程．
【解析】
（1）∵抛物线C的一个焦点为，其准线方程为
∴抛物线C的方程为y2=2x；
（2）抛物线的焦点坐标为（，0），
①当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-），代入y2=2x，
得k2x2-x（k2+2）+=0．
设l方程与抛物线相交于两点，∴k≠0．设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
根据韦达定理，有x1+x2=，从而y1+y2=k（x1+x2-1）=．
设△AOB的重心为G（x，y），则x==，y==，
∴y2=x-．
②当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（，1）和（，-1），△AOB的重心G（，0），也适合y2=x-，
因此所求轨迹C的方程为y2=x-．