Question

已知定义在[1，4]上的函数f（x）=x²-2bx+（b≥1），
（ I）求f（x）的最小值g（b）；
（ II）求g（b）的最大值M．

Answer

（I）由已知中函数的解析式，可得f（x）=（x-b）2-b2+的对称轴为直线x=b（b≥1），分当1≤b≤4时，和b＞4时，两种情况，分析函数在区间[1，4]上的单调性，可得f（x）的最小值g（b）；
（ II）结合（I）中所得g（b）的解析式，根据分段函数分段处理的原则，分别求出各段上函数的最大值，比照后可得g（b）的最大值M．
【解析】
f（x）=（x-b）2-b2+的对称轴为直线x=b（b≥1），
（ I）①当1≤b≤4时，g（b）=f（b）=-b2+；
②当b＞4时，g（b）=f（4）=16-，
综上所述，f（x）的最小值g（b）=．
（ II）①当1≤b≤4时，g（b）=-b2+=-（b-）2+，
∴当b=1时，M=g（1）=-；
②当b＞4时，g（b）=16-是减函数，∴g（b）＜16-×4=-15＜-，
综上所述，g（b）的最大值M=-．