Question

已知椭圆经过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0）．
（1）当m=3时，判断直线l与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；
（2）当m=3时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值；
（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer

（1）当m=3时，直线l与椭圆相离．
（2）直线l的斜率为，设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，设直线a的方程为…（3分）联立，得x2+2bx+2b2-4=0…（4分），故△=（2b）2-4（2b2-4）=0，解得b=±2，由此能求出点P到直线l距离的最小值．
（3）由，得x2+2mx+2m2-4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可．
（1）【解析】
当m=3时，直线l与椭圆相离．…（2分）
（2）【解析】
可知直线l的斜率为，
设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，
设直线a的方程为…（3分）
联立，得x2+2bx+2b2-4=0…（4分）
∴△=（2b）2-4（2b2-4）=0，解得b=±2（5分）
∴直线a的方程为．
所求P到直线l的最小距离等于直线l到直线的距离    …（6分）
．…（7分）
（3）证明：由，得x2+2mx+2m2-4=0，
设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2=-2m，，…（9分）
而…（10分）
=
=
=…（11分）
=           
=
=
=
==0，
∴k1+k2=0…（13分）
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．…（14分）