Question

A：如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于点D，BC=4cm，
（1）试判断OD与AC的关系；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA-1=0，求⊙O的直径．
B：（选修4-4）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x²+y²=4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

Answer

A：（1）根据直径所对的圆周角为直角，以及三角形的中位线定理，可得AC⊥OD；
（2）在△ACB中，BC=4cm且OD是中位线，根据三角形的中位线定理，得OD=BC=2cm；
（3）Rt△ADO中，利用正弦的定义结合OD=2cm，得到半径OA=4cm，从而得到⊙O的直径长．
B：（1）根据直线的参数方程关于倾斜角的公式，得参数方程为 （t为参数），再化简整理即可；
（2）将点（，）代入圆x2+y2=4的方程中，再化简整理得：t2=2，设方程的两个根为 t1，t2，根据参数方程中t的几何意义结合一元二次方程根与系数的关系，得到点P到A、B两点的距离之积|t1||t2|=|t1t2|=2．
【解析】
（A）（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，即AC⊥BC，又∵OD∥BC，
∴AC⊥OD…（3分）
（2）∵O为AB中点，OD∥BC
∴OD为△ACB的中位线
∴OD=BC=2cm…（6分）
（3）∵2sinA-1=0，∴
∴Rt△ADO中，，
又∵OD=2cm，
∴OA=4cm，
因为半径等于4cm，所以⊙O的直径是8cm…（10分）
（B）（1）由题意，可得直线的参数方程为 （t为参数）
整理得（t为参数）…（3分）
（2）把代入圆x2+y2=4的方程中，得
整理得：t2=2，设方程的两个根为 t1，t2，则…（7分）
由参数方程中t的几何意义可知|t1|，|t2|即为点P到A、B两点的距离，
∴点P到A、B两点的距离之积|t1||t2|=|t1t2|=2…（10分）