Question

某校从参加高二级期中考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]．后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分以上为及格）；若统计方法中，同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）从成绩是[40，50]，和[90，100分的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．

Answer

（1）因为各组的频率和等于1，由此能求出第四组的频率，并能作出直方图．
（2）依题意，60以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75．所以抽样学生成绩的合格率是75%．利用组中值估算抽样学生的平均分能够估计这次考试的平均分．
（3）分数在[40，50]中的学生有6人，记为a1，a2，a3，a4，a5，a6，分数在[90，100]中的学生有3人，记为b1，b2，b3，两个分数段上的学生工9名．从9名学生中抽取两名学生，共有36种不同的取法．其中从分数在[40，50]中的6名学生任取两名学生共有15种不同的取法，从分数在[90，100]中3名学生中任取两名学生，共有3种不同的取法．由此能求出从成绩是[40，50]和[90，100]分的学生中选两人是同一分数段的概率．
【解析】
（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：
f4=1-（0.025+0.015+0.01+0.005）×10=0.3．
直方图为：

（2）依题意，60以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为：
（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75．
所以，抽样学生成绩的合格率是75%．
利用组中值估算抽样学生的平均分为：
45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
估计这次考试的平均分时71（分）．
（3）分数在[40，50]中的学生有6人，记为a1，a2，a3，a4，a5，a6，
分数在[90，100]中的学生有3人，记为b1，b2，b3，
两个分数段上的学生工9名．从9名学生中抽取两名学生，有以下取法：
a1，a2；a1，a3；a1，a4；a1，a5；a1，a6；a1，b1；a1，b2；a1，b3；
a2，a3；a2，a4；a2，a5；a2，a6；a2，b1；a2，b2；a2，b3；
a3，a4；a3，a5；a3，a6；a3，b1；a3，b2；a3，b3；
a4，a5；a4，a6；a4，b1；a4，b2；a4，b3；
a5，a6；a5，b1；a5，b2；a5，b3；
a6，b1；a6，b2；a6，b3；
b1，b2；b1，b3；
b2，b3．
共有36种不同的取法
其中从分数在[40，50]中的6名学生任取两名学生有下列取法：
a1，a2；a1，a3；a1，a4；a1，a5；a1，a6；
a2，a3；a2，a4；a2，a5；a2，a6；
a3，a4；a3，a5；a3，a6；
a4，a5；a4，a6；
a5，a6．
共有15种不同的取法
从分数在[90，100]中3名学生中任取两名学生有下列取法：
b1，b2；b1，b3；b2，b3 共有3种不同的取法
记“从成绩是[40，50]和[90，100]分的学生中选两人”为事件A，
则P（A）=，
即从成绩是[40，50]和[90，100]分的学生中选两人是同一分数段的概率为．