Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中 AD=AA₁=1，AB=2  
（1）证明：当点E在棱AB移动时，D₁E⊥A₁D；
（2）（理）在棱AB上是否存在点E，是二平面角D₁-EC-D的平面角为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．
（文）在棱AB上否存在点E使CE⊥面D₁DE若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接AD1，由EA⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，证出A1D⊥EA，再在正方形ADD1A1得出A1D⊥AD1，证出A1D⊥平面AD1E后可证D1E⊥A1D．
（2）（理）存在．连接DE，过D作DH⊥EC，交EC于H，连接D1H，则∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角，即∠D1HD=，设AE=x（0≤x≤2），在RT△D1DH中利用tan=，列出方程=，考察方程的解得情况作出回答．
（文）存在点E．设AE=x（0≤x≤2），则BE=2-x，在RT△DEC中由勾股定理列出关于x的方程，考察方程的解得情况作出回答．
（1）证明：连接AD1，由长方体的结构特征，EA⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴A1D⊥EA，
由AD=AA1=1，则四边形ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，
又∵EA∩AD1=A，∴A1D⊥平面AD1E，
∵D1E⊂平面AD1E，
∴D1E⊥A1D．
（2）【解析】
存在点E，使二平面角D1-EC-D的平面角为，此时AE=2-．
连接DE，过D作DH⊥EC，交EC于H，连接D1H，
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，EC⊂平面ABCD，
∴DD1⊥EC，又∵DH∩DD1=D，
∴EC⊥平面D1DH，∵D1H⊂平面D1DH，∴EC⊥D1H，
∴∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角，即∠D1HD=
设AE=x（0≤x≤2），则EB=2-x，进而EC=，
在△DEC中，利用面积相等的关系有：EC×DH=CD×AD，
DH=，在RT△D1DH中，
∵∠D1HD=，
∴tan=，即=
解得x=2-（0≤x≤2），所以存在点E，使二平面角D1-EC-D的平面角为，此时AE=2-．
（文）存在点E．此时E为AB中点．CE⊥面D1DE，
∴CE⊥DE，设AE=x（0≤x≤2），则BE=2-x，
由勾股定理得DE2=AD2+AE2=1+x2，CE2=CB2+BE2=1+（2-x）2，在RT△DEC中，CD2=DE2+CE2=，4=1+x2+1+（2-x）2，
整理化简得出x2-2x+1=0，x=1，此时E为AB中点．